组合数学原书第5版

组合数学原书第5版是一本计算机科学书籍，由美国威斯康星大学麦迪逊分校数学系教授布鲁迪编著。本书是系统阐述组合数学基础、理论、方法和实例的优秀教材，侧重于组合数学的概念和思想，包括鸽巢原理、计数技术、排列与组合、Polya计数法、二项式系数、容斥原理、生成函数和递推关系以及组合结构（匹配、试验设计、图）等，深入浅出地表达了作者对该领域全面和深刻的理解。新版本增加了有限概率、相异代表系、匹配数等内容，同时删除若干不影响对组合数学理解的内容，或将其移作习题，以保持本书内容不致过于宠大而使读者却步。

内容介绍

《组合数学原书第5版》系统地阐述组合数学基础、理论和方法，侧重于组合数学的概念和思想，论述了鸽巢原理、排列与组合、二项式系数、容斥原理及应用、递推关系和生成函数、特殊计数序列、二分图中的匹配、组合设计、图论、有向图及网络、Polya计数法等。此外，各章均包含大量练习题，并在书末给出了参考答案与提示，能够适合作为高等院校相关专业组合数学课程的教材。

组合数学原书第5版章节目录

第1章 什么是组合数学

1.1 例子：棋盘的完美覆盖

1.2 例子：幻方

1.3 例子：四色问题

1.4 例子：36军官问题

1.5 例子：最短路径问题

1.6 例子：相互重叠的圆

1.7 例子：Nim游戏

1.8 练习题

第2章 排列与组合

2.1 四个基本的计数原理

2.2 集合的排列

2.3 集合的组合（子集）

2.4 多重集合的排列

2.5 多重集合的组合

2.6 有限概率

2.7 练习题

第3章 鸽巢原理

3.1 鸽巢原理：简单形式

3.2 鸽巢原理：加强版

3.3 Ramsey定理

3.4 练习题

第4章 生成排列和组合

4.1 生成排列

4.2 排列中的逆序

4.3 生成组合

4.4 生成r子集

4.5 偏序和等价关系

4.6 练习题

第5章 二项式系数

5.1 帕斯卡三角形

5.2 二项式定理

5.3 二项式系数的单峰性

5.4 多项式定理

5.5 牛顿二项式定理

5.6 再论偏序集

5.7 练习题

第6章 容斥原理及应用

6.1 容斥原理

6.2 带重复的组合

6.3 错位排列

6.4 带有禁止位置的排列

6.5 另一个禁止位置问题

6.6 莫比乌斯反演

6.7 练习题

第7章 递推关系和生成函数

7.1 若干数列

7.2 生成函数

7.3 指数生成函数

7.4 求解线性齐次递推关系

7.5 非齐次递推关系

7.6 一个几何例子

7.7 练习题

第8章 特殊计数序列

8.1 Catalan数

8.2 差分序列和Stirling数

8.3 分拆数

8.4 一个几何问题

8.5 格路径和Schroder数

8.6 练习题

第9章 相异代表系

9.1 问题表述

9.2 SDR的存在性

9.3 稳定婚姻

9.4 练习题

第10章 组合设计

10.1 模运算

10.2 区组设计

10.3 Steiner三元系

10.4 拉丁方

10.5 练习题

第11章 图论导引

11.1 基本性质

11.2 欧拉迹

11.3 哈密顿路径和哈密顿圈

11.4 二分多重图

11.5 树

11.6 Shannon开关游戏

11.7 再论树

11.8 练习题

第12章 再论图论

12.1 色数

12.2 平面和平面图

12.3 五色定理

12.4 独立数和团数

12.5 匹配数

12.6 连通性

12.7 练习题

第13章 有向图和网络

13.1 有向图

13.2 网络

13.3 回顾二分图匹配

13.4 练习题

第14章 Polya计数

14.1 置换群与对称群

14.2 Burnside定理

14.3 Polya计数公式

14.4 练习题

练习题答案与提示

参考文献

索引

原文摘录

什么是组合数学

在生活中组合数学随处可见。你是否曾经遇到这样的问题:有 n个参赛队，每个队只能与其他队比赛一次，那么有多少场比赛呢?你是否曾经想过，在用笔遍历某个网络时，在笔不离开纸且网络任何一部分只能经过一次的条件下，有多少遍历方法呢?你是否计算过纸牌游戏中的满堂红的手数，以便确定满堂红的概率是多少呢?你是否尝试着解决一个数独问题呢?这些都是组合问题。正如这些例子所揭示的那样，组合数学扎根于数学和游戏之中。过去研究过的许多问题，不论是出于娱乐还是出于美学上的需求，现今在纯科学和应用科学领域都有着高度的重要性。今天，组合数学是数学的一个重要分支，组合数学高速成长起来的原因之一是计算机在我们的社会中起着重要的作用。因为计算机的速度不断增加，所以它们已经能够处理大型问题，这在之前是不可能做到的。但是计算机不能独立运行，它们必须按程序运行。这些程序的基础通常是用来求解这些问题的组合数学算法。这些程序的有效性分析主要从程序的运行时间和存储需求

等方面考虑，这其中涉及更多的组合数学思想。

组合数学持续发展的另一个原因就是它能够运用到很多学科，而之前这些学科与数学几平没有关联。因此，我们会发现组合数学的思想和技术不仅用于传统的应用科学领域(比如说物理学)，还应用于社会科学、生物科学、信息论等领域。另外，组合数学和组合数学思想在很多数学分支中也变得越来越重要。

组合数学所关心的问题就是把某个集合中的对象排列成某种模式，使其满足一些指定的规则。下面是两种反复出现的通用问题:

排列的存在性。当我们想排列一个集合的对象使其满足特定条件时，这样的排列是否存在也许不是显然的。这是最基本的问题。如果这样的排列不总是可行的，那么我们很自然就要问，在什么样的条件(必要条件和充分条件)下可以实现所望的排列。排列的列举或分类。当指定的排列可行时，就有可能存在很多种实现它的方法。于是我们就要计数或分类不同类型的排列。

如果特定问题的排列数量较小，那么我们就可以列出这些排列。这里，重要的是要理解列出所有排列和确定它们的数量之间的差异。一旦这些排列被列出来，那么我们就可以对某个自然数 建立它们与整数集合《1，2，””，n》之间的一一对应，从而计数这些排列。我们的计算方法就是:1，2，3，”。然而，我们主要关心的是，对于特定类型的排列，在不列出它们的情况下确定这些排列数的技术问题。当然，这个排列数目也许非常大，以至于我们无法把它们全部列出来。

下面是另外两种常常出现的组合问题。

研究已知的排列。在你完成了构建满足特定条件的排列之后(也许这是一项困难的工作)，接下来可以研究它的性质和结构。

构造最优排列。如果存在多个可行的排列，那么我们也许想要确定满足某些优化标准的排列，也就是说，在某种指定的意义下去寻找一个“最好”或者“最优”的排列。因此，关于组合数学的一般描述也许就是，组合数学是研究离散构造的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。虽然一些离散结构是无限的，但是在本书中，离散一般指的是有限。

组合数学验证发现的主要工具之一是数学归纳法。归纳法是一个强大的方法，在组合数学中尤为如此。通常情况下，用数学归纳法证明一个较强的结果要比证明一个较弱的结果更为容易。虽然归纳步骤需要证明更多的东西，但归纳假设可以更强。数学归纳法的技巧是寻找假设和结论的正确平衡以便进行归纳。我们假定读者熟悉归纳法，通读了这本书之后，读者会对此有更加深刻的了解。

组合问题的解决方案通常可以使用专门论证来获取，有时需要结合一般理论的使用。我们不可能总是退回到公式或者已知的结果上。组合问题的一个典型的解决方法可能包含下面几个步骤:(1)建立数学模型，(2 研究模型;(3) 计算若干小案例，树立信心，洞察一切;(4)运用详细的推理和巧思最终找到问题的答案。计数问题、容斥原理、鸽巢原理、递推关系和生成函数、Burnside定理和 Polya计数公式等都是一般原理和方法的案例，我们将在后面各章陆续讲解它们。然而，有时候还需要你的聪明才智，能够看破要使用的专门方法或者公式并知道如何去运用它们。因此，在解决组合问题中经验是非常重要的。也就是说，一般来说用组合数学解决问题与用数学解决问题一样，你解决的问题越多，你就越有可能解决随后的新问题。下面我们考虑几个组合问题的粗浅例子。前面几个问题相对简单，而后面几个问题的结果曾经是组合数学的主要成就。我们将在后续章节中更加详细地讨论其中的几个问题。

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